Quiz 20200103
問1 同値関係が満たすべき性質をすべて答えなさい。
答え 反射律、対称律、推移律
問2 集合S={a,b,c,d,e}とする。
A上の関係R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,
<d,d>,<e,e>,<a,b>,<a,c>,
<b,a>,<b,c>,<b,e>,<e,d>}とする。このときRは同値関係か？
答え 同値関係でない。(<b,c>だが<c,b>はRに入っていないため、対称律を満たしていない。
また、推移律も満たしていない。)
問3 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,
<e,e>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,
<b,c>,<b,e>,<e,d>}とする。このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 反射律(対称律、推移律、反対称律、非反射律は満たしていない)
問4 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>}とする。
このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 反射律、対称律、推移律、反対称律(非反射律は満たしていない)
問5 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,c>}とする。
このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 推移律、反対称律(反射律、対称律、非反射律は満たしていない)
問6 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>
,<e,e>,<a,c>,<c,a>}とする。
このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 反射律、対称律、推移律(反対称律、非反射律は満たしていない)
問7 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,
<d,d>,<e,e>,<a,c>}とする。
このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 反射律、推移律、反対称律(対称律、非反射律は満たしていない)
問8 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,b>,<b,a>,<c,c>,<d,d>,<e,e>}とする。
このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 対称律(反射律、推移律、反対称律、非反射律は満たしていない)
問9 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,
<e,e>,<a,b>,<a,c>,
<a,d>,<a,e>,<b,a>,<b,c>,
<b,d>,<b,e>,<c,a>,
<c,b>,<c,d>,<c,e>,
<d,a>,<d,b>,<d,c>,<d,e>,
<e,a>,<e,b>,<e,c>,<e,d>}とする。
このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 反射律、対称律、推移律(反対称律、非反射律は満たしていない)
問10 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
A上の関係R={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<b,a>,
<b,c>,<b,d>,<b,e>,<c,a>,<c,b>,
<c,d>,<c,e>,<d,a>,<d,b>,<d,c>,
<d,e>,<e,a>,<e,b>,<e,c>,<e,d>}とする。
このときRが満たしている性質をすべて答えなさい。
答え 対称律、非反射律(反射律、推移律、反対称律は満たしていない)
問11 集合S={a,b,c,d,e}とし、a,b,c,d,eはすべて異なっている。
S上の関係を行列であらわしたもの(以下、関係行列)が図のようになっているとき、
関係が満たしている性質をすべて選びなさい。
答え 反対称律(反射律、対称律、推移律、非反射律は満たしていない)
問12 集合S={a,b,c,d}とし、a,b,c,dはすべて異なっている。
S上の関係行列が図のようになっているとき、関係が満たしている性質をすべて選びなさい。
答え 反射律、対称律(推移律、反対称律、非反射律は満たしていない)
問13 集合S={a,b,c,d}とし、a,b,c,dはすべて異なっている。
S上の関係行列が図のようになっているとき、関係が満たしている性質をすべて選びなさい。
答え 反射律、対称律、推移律(反対称律、非反射律は満たしていない)
問14 集合S={a,b,c,d,e,f}とし、a,b,c,d,e,fはすべて異なっている。
S上の関係行列が図のようになっているとき、関係が満たしている性質をすべて選びなさい。
答え 対称律、非反射律(反射律、推移律、反対称律は満たしていない)
問15 集合S={a,b,c,d}とし、a,b,c,dはすべて異なっている。
S上の関係Rの関係行列が図のようになっているとき、
Rが同値関係となるようにRに要素を追加したい。
ただしなるべく少ない要素を追加する。
このときどの要素がRに含まれればよいか？
含まれるべき要素をすべて答えなさい。
答え <a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,a>,<d,a>,<d,b>(推移律を満たすためにこれらが必要)
問16 関係行列が反射律をみたすための必要十分条件は何か？
答え 対角成分がすべて1である。
(他の選択肢の「対角成分に1が存在する。」、「対角成分に0が存在する。」、
「対角成分がすべて0である。」はすべて間違い)
問17 関係行列が非反射律をみたすための必要十分条件は何か？
答え 対角成分がすべて0である。
(他の選択肢の「対角成分がすべて1である。」、
「対角成分に1が存在する。」、「対角成分に0が存在する。」はすべて間違い)
問18 関係行列が対称行列であるときに満たす性質は何か、すべて答えなさい。
答え 対称律(対称行列から反射律、推移律、反対称律、非反射律が成り立つとは言えない)
問19 関係行列Aについて、A^2 (行列の積 AA)を作った。
このときA^2のi,j成分が非ゼロならばAのi,j成分は1であるという。
関係行列Aが満たす性質は何か、すべて答えなさい。
答え 推移律(対称行列から反射律、対称律、反対称律、非反射律が成り立つとは言えない)
問20 関係行列Aについて、Aが反対称律を満たすための必要十分条件は何か、
答えなさい。ただし、Aの列で同じ要素をあらわしているものはないとする。
答え Aのi,j成分が1ならばj,i成分が0(他の選択肢「Aのi,j成分が0ならばj,i成分が1」、
「Aのi,j成分が0ならばj,i成分が0」、「Aのi,j成分が1ならばj,i成分が1」、
「Aのi,j成分が0ならばj,i成分が1かつ、Aのi,j成分が1ならばj,i成分が0」はいずれも間違い)